Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 >> [Всего задач: 27]
На прямых $BC$, $CA$, $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$,
$C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2\| AB$, $B_1C_2\| BC$, $C_1A_2\| CA$. Пусть
$\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$,
$BB_2$ и $CC_1$; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что
прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).
На сторонах
BC,
CA и
AB треугольника
ABC взяты
точки
A1,
B1 и
C1, причем отрезки
AA1,
BB1 и
CC1
пересекаются в точке
P. Пусть
la,
lb,
lc — прямые,
соединяющие середины отрезков
BC и
B1C1,
CA и
C1A1,
AB и
A1B1. Докажите, что прямые
la,
lb и
lc
пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке
PM,
где
M — центр масс треугольника
ABC.
На сторонах
BC,
CA и
AB треугольника
ABC взяты
точки
A1,
B1 и
C1; прямые
B1C1,
BB1 и
CC1 пересекают
прямую
AA1 в точках
M,
P и
Q соответственно. Докажите, что:
а)
A1M/
MA = (
A1P/
PA) + (
A1Q/
QA);
б) если
P =
Q, то
MC1 :
MB1 = (
BC1/
AB) : (
CB1/
AC).
На прямой
AB взяты точки
P и
P1, а на прямой
AC взяты точки
Q и
Q1. Прямая, соединяющая точку
A
с точкой пересечения прямых
PQ и
P1Q1, пересекает
прямую
BC в точке
D. Докажите, что
=
.
|
|
Сложность: 6+ Классы: 9,10,11
|
Дан выпуклый четырехугольник
ABCD .
A' ,
B' ,
C' ,
D' –
ортоцентры треугольников
BCD ,
CDA ,
DAB ,
ABC . Докажите, что в
четырехугольниках
ABCD и
A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся
точками пересечения в одном и том же отношении.
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 >> [Всего задач: 27]