Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 201]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
Подсказка
Чётность числа чёрных клеток в квадрате из клеток a1, a2, b1, b2 не меняется при перекрашиваниях.
Решение
Выделим квадрат 2×2, содержащий ровно одну чёрную клетку. Далее см. задачу 30756.
В странах Диллии и Даллии денежными единицами
являются диллеры и даллеры соответственно, причем в Диллии диллер
меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер меняется на 10
диллеров. Начинающий финансист имеет 1 диллер и может свободно
перезжать из одной страны в другую и менять свои деньги в обеих
странах. Докажите, что количество даллеров у него никогда не
сравняется с количеством диллеров.
Решение
Инвариант - остаток по модулю 11 разности между числом диллеров и числом даллеров у финансиста.
На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в
том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня,
выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через
несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех
камней?
Решение
Нельзя. Рассмотрите величину
s, равную сумме числа камней и числа куч.
Дана некоторая тройка чисел. С любыми двумя из них разрешается проделывать следующее: если эти числа равны a и b, то их можно заменить на 
и 
. Можно ли с помощью таких операций получить тройку 
из тройки 
Подсказка
Рассмотрите сумму квадратов чисел тройки.
Решение
Заметим, что 
Поэтому сумма квадратов чисел тройки не меняется. Но 
а 
Ответ
Нельзя.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
См. задачу 73546 а).
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 201]
Фильтр
