ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Материалы по этой теме:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 [Всего задач: 99]      



Задача 73603

Темы:   [ Метод координат на плоскости ]
[ Кривые второго порядка ]
[ Инварианты ]
[ Признаки и свойства касательной ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в точке О, прямой l, проходящей через точку О, и всевозможных касательных к окружностям, параллельных l. Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол).
Прислать комментарий     Решение


Задача 66708

Темы:   [ Композиция преобразований плоскости ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Кривые второго порядка ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что
  а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;
  б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116914

Темы:   [ ГМТ (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Кривые второго порядка ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116174

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

B некоторой трапеции сумма длин боковой стороны и диагонали равна сумме длин другой боковой стороны и другой диагонали.
Докажите, что трапеция равнобокая.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 [Всего задач: 99]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .