Страница:
<< 59 60 61 62
63 64 65 >> [Всего задач: 326]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно,
что их можно разбить на k равных по массе групп.
Доказать, что не менее чем k способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на k равных по массе групп.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные
устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам
x и y вычислить xy + x + y + 1 и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена
1 + x + x² + ... + x1982. Под
"программой" он понимает такую последовательность многочленов f1(x), ..., fn(x), что
f1(x) = x и для любого i = 2, ..., n fi(x) – константа или
fi(x) = fj(x)·fk(x) + fk(x) + fj(x) + 1, где j < i, k < i, причём fn(x) = 1 + x + ... + x1982.
а) Помогите Пете написать "программу".
б) Можно ли написать "программу", если калькулятор имеет только одну операцию xy + x + y?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
По кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). За один ход разрешается взять все шарики из любой коробочки и разложить их, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.
а) Докажите, что если на каждом следующем ходе шарики берут из той коробочки, в которую попал последний шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повторится начальное размещение шариков.
б) Докажите, что за несколько ходов из любого начального размещения шариков по коробочкам можно получить любое другое.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные
числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три
карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее
число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?
Страница:
<< 59 60 61 62
63 64 65 >> [Всего задач: 326]
Фильтр
