ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 137 138 139 140 141 142 143 >> [Всего задач: 1308]      



Задача 65408

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Первоначально на доске написано число 2004!. Два игрока ходят по очереди. Игрок в свой ход вычитает из написанного числа какое-нибудь натуральное число, которое делится не более чем на 20 различных простых чисел (так, чтобы разность была неотрицательна), записывает на доске эту разность, а старое число стирает. Выигрывает тот, кто получит 0. Кто из играющих – начинающий или его соперник – может гарантировать себе победу, и как ему следует играть?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65464

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Из спичек сложен клетчатый квадрат 9×9, сторона каждой клетки – одна спичка. Петя и Вася по очереди убирают по спичке, начинает Петя. Выиграет тот, после чьего хода не останется целых квадратиков 1×1. Кто может действовать так, чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65578

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Фома и Ерёма делят кучку из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету из кучки, а другой говорит, кому её отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве – тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерёма, или Ерёма всегда сможет Фоме помешать?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65696

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет
вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65828

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Мусатов Д.

У Карлсона есть 1000 банок с вареньем. Банки не обязательно одинаковые, но в каждой не больше чем сотая часть всего варенья. На завтрак Карлсон может съесть поровну варенья из любых 100 банок. Докажите, что Карлсон может действовать так, чтобы за некоторое количество завтраков съесть всё варенье.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 137 138 139 140 141 142 143 >> [Всего задач: 1308]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .