В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.

   Решение

Hа плоскости проведены шесть прямых. Известно, что для любых трёх из них найдется такая четвёртая из этого же набора прямых, что все четыре будут касаться некоторой окружности. Oбязательно ли все шесть прямых касаются одной и той же окружности?

   Решение

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O . Окружность, описанная вокруг треугольника ABO , пересекает сторону AD в точке E . Окружность, описанная вокруг треугольника DOE , пересекает отрезок BE в точке F . Докажите, что BCA = FCD .

   Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 357]      

Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь, Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.)

Прислать комментарий

Решение

Паша записал на доске пример на сложение, после чего заменил некоторые цифры буквами, причём одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а различные цифры – различными буквами. У него получилось:  КРОСС + 2011 = СТАРТ.  Докажите, что Паша ошибся.

Прислать комментарий

Решение

Каждый из четырех гномов — Беня, Веня, Женя, Сеня — либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали такой разговор: Беня — Вене: "ты врун"; Женя — Бене: "сам ты врун"; Сеня — Жене: "да оба они вруны, — (подумав), — впрочем, ты тоже". Кто из них говорит правду?

Прислать комментарий

Решение

Один из пяти братьев испек маме пирог. Андрей сказал: "Это Витя или Толя". Витя сказал: "Это сделал не я и не Юра". Толя сказал: "Вы оба шутите". Дима сказал: "Нет, один из них сказал правду, а другой — нет". Юра сказал: "Нет Дима, ты не прав". Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?

Прислать комментарий

Решение

За круглым столом сидят несколько гостей. Некоторые из них знакомы между собой; знакомство взаимно. Все знакомые любого гостя (считая его самого) сидят вокруг стола через равные промежутки. (Для другого человека эти промежутки могут быть другими.) Известно, что любые двое имеют хотя бы одного общего знакомого. Докажите, что все гости знакомы друг с другом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 357]