ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 274]      



Задача 109894

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Храмцов Д.

Пусть a, b и c – попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения  ,  если известно, что это число целое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115352

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Назовём тройку натуральных чисел  (a, b, cквадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка  (c, b, a)  новой тройкой не считается.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 60489

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение  ax + by = c  имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на  d = НОД(a, b).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60503

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

При каких целых n сократимы дроби
  а)   ;   б)  ?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60522

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Инварианты и полуинварианты (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На доске написано n натуральных чисел. За одну операцию вместо двух чисел, не делящих друг друга, можно написать их наибольший общий делитель и их наименьшее общее кратное.
  а) Докажите, что можно провести только конечное число операций.
  б) Финальный результат независимо от порядка действий будет одним и тем же. Например:
    (4, 6, 9) → (2, 12, 9) → (2, 3, 36) → (1, 6, 36),
    (4, 6, 9) → (4, 3, 18) → (1, 12, 18) → (1, 6, 36).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 274]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .