ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      



Задача 110162

Темы:   [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Неравенства с модулями ]
[ Иррациональные неравенства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Положительные числа x, y, z таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что   + + > x + y + z.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111763

Темы:   [ Вычисление производной ]
[ Неравенства с модулями ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что  f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)|  при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110748

Темы:   [ Выпуклый анализ и линейное программирование ]
[ Неравенства с модулями ]
Сложность: 6-
Классы: 10,11

Даны числа а1, ..., аn.
Для 1 ≤ in положим

di = MAX { aj | 1 ≤ ji } - MIN { aj | ijn }
d = MAX { di | 1 ≤ in }

а) Доказать, что для любых x1x2 ≤ ... ≤ xn выполняется неравенство

MAX { |xi - ai| | 1 ≤ in } ≥ d/2.


б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {xi} i=1...n

Прислать комментарий     Решение

Задача 60309

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Неравенства с модулями ]
Сложность: 2
Классы: 8

Докажите неравенство: |x1 + ... + xn| ≤ |x1| + ... + |xn|, где x1,..., xn — произвольные числа.
Прислать комментарий     Решение


Задача 79396

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Неравенства с модулями ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Ненашев С.

Натуральные числа a1, a2, ..., an таковы, что каждое не превышает своего номера  (ak ≤ k)  и сумма всех чисел – чётное число.
Доказать, что одна из сумм  a1 ± a2 ± ... ± an  равна нулю.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .