Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 76]

Задача 77915

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Правило произведения	]
	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).

Прислать комментарий

Решение

Задача 115397

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

Последовательность a₁,a₂,.. такова, что a₁(1,2) и a_k+1=a_k+ при любом натуральном k . Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.

Прислать комментарий Решение

Задача 61336

Темы:	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите равенство

$\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$ ...

Прислать комментарий

Решение

Задача 61322

[Арифметико-геометрическое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {a_n} и {b_n} по правилам:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 98217

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Ограниченность, монотонность	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Шаповалов А.В.

Последовательность натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n, ... такова, что для каждого n уравнение a_n+2x² + a_n+1x + a_n = 0 имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
а) равным 10;
б) бесконечным?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 76]