Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Сколько существует способов разрезать выпуклый (n+2)-угольник диагоналями на треугольники?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи 61519 и равенством 
где
– обобщенные биномиальные коэффициенты.
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.
|
[Формула для чисел Каталана]
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
а) Пусть {a1, a2,..., an} – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a1, a2, ..., an}, {a2, ..., an, a1}, ..., {an, a1, ..., an–1} все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.
б) Выведите отсюда равенства: 
где (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2) – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
Определение чисел Каталана Cn смотри в
справочнике.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Пусть 
– производящая функция последовательности чисел Каталана. Докажите, что она удовлетворяет равенству
C(x) = xC²(x) + 1,
и получите явный вид функции
C(
x).
Определение чисел Каталана можно найти в
справочнике.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число 
целое.
Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
Фильтр
