Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 522]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56506

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине.
  а) M – точка медианы AA₁ (или её продолжения), равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁MC₁ = φ.
  б) O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57373  [Неравенство Птолемея]

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Теорема Птолемея ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что  AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108043

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ] [ Выход в пространство ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

В трапеции ABCD  AB – основание,  AC = BC,  H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108155

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Окружность S₁, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке D. Окружность S₂, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и окружность S₁ вторично в точке F. Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности S₃ с центром O. Докажите, что угол BFO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52460  [Теорема о бабочке]

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Радикальная ось ] [ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. Отрезок LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что  PC = QC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 522]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями