Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 237]      

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  a_n+1 ≤ 10a_n  при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂a₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC с углом B, равным 50°, и стороной  BC = 3  на высоте BH взята такая точка D, что  ∠ADC = 130°  и  AD = .
Найдите угол между прямыми AD и BC, а также угол CBH.

Прислать комментарий

Решение

При возведении числа  1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
  (1 + )¹ = 1 + = + ,   (1 + )² = 3 + 2 = + ,   (1 + )³ = 7 + 5 = + ,   (1 + )⁴ = 17 + 12 = + .
Для их изучения определим числа a_n и b_n при помощи равенства  (1 + )ⁿ = a_n + b_n,  (n ≥ 0).
  а) Выразите через a_n и b_n число  (1 – )ⁿ.
  б) Докажите равенство  
  в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {a_n} и {b_n}?
  г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {a_n} и {b_n}.
  д) Найдите связь между числами a_n, b_n и подходящими дробями к числу .

Прислать комментарий

Решение

Разложите функции     и     (n ≥ 1)  в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи F_n(x) и Люка L_n(x) смотри, например, здесь.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии a₁, a₂, a₃, a₄, ... есть числа  
Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 237]