Различные числа a, b и c таковы, что уравнения  x² + ax + 1 = 0  и  x² + bx + c = 0  имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения  x² + x + a = 0  и  x² + cx + b = 0.  Найдите сумму  a + b + c.

   Решение

В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

   Решение

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
   рационально. Докажите, что для любого a из M число    рационально.

   Решение

Окружности , и  имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окружность  касается внешним образом всех трех окружностей , и . Докажите, что центр окружности  лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.

   Решение

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

   Решение

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что прямые AB и KM перпендикулярны тогда и только тогда, когда  AK² – BK² = AM² – BM².

Подсказка

Геометрическое место точек X, для которых разность  AX² – BX²  постоянна, есть перпендикуляр к отрезку AB (см. задачу 57134).

Решение

Это утверждение эквивалентно тому, что геометрическое место точек X, для которых разность  AX² – BX²  постоянна, есть перпендикуляр к отрезку AB.

Источники и прецеденты использования