Расставьте по кругу шесть различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних.

   Решение

На плоскости дано 4000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 1000 непересекающихся четырехугольников (возможно, невыпуклых) с вершинами в этих точках.

   Решение

Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный.

   Решение

Натуральное число умножили последовательно на каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.

   Решение

Два квадрата расположены, как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного треугольника равна сумме площадей серых.

   Решение

Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно  p + q?

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Покрытия ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?

Решение

Ответ: на высоте , где a — сторона квадрата. Рассмотрим следующие 5 точек: вершины квадрата и его центр. Если диаметр круга меньше , то он может содержать не более одной из этих точек. Поэтому 4 круга радиуса меньше не могут целиком покрыть квадрат со стороной a. Легко видеть, что 4 круга, диаметрами которых служат отрезки, соединяющие центр квадрата с его вершинами, полностью покрывают квадрат.

Источники и прецеденты использования