Докажите для каждого натурального числа  n > 1  равенство:   [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log₂n] + [log₃n] + ... + [log_nn].

   Решение

а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся две хорды одинаковой длины?

б) 20 точек, делящие окружность на 20 равных дуг, попарно соединены 10 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины?

   Решение

Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.

   Решение

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

   Решение

Дан отрезок AB. Найдите на плоскости множество таких точек C, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B.

   Решение

Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам x и y он вычисляет x + y, x − y и (при x ≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).

   Решение

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём  BL = ⁵/₉ BD.
Найдите площадь треугольника.

Решение

  Поскольку BA = BC,  то треугольник ABC – равнобедренный. Его медиана BD является высотой и биссектрисой. Поэтому центр O данной окружности лежит на луче BD.
  Обозначим  BL = 5x.  Тогда  BD = 9x,  DL = 4x,  OD = R – 4x.
  Как известно,  OС² = ОB·BL,  то есть R² = (R + 5x)(R – 4x).
  Отсюда  x = ^R/₂₀.  Следовательно,  BD = ^9R/₂₀,  OD = ^4R/₅,  AC² = 4CD² = 4OB·BD = ^36R/₂₅,  S_ABC = ½ AC·BD = ^27R²/₁₀₀.

Ответ

^27R²/₁₀₀.

Источники и прецеденты использования