Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь четырёхугольника KCDL, если площадь треугольника ABC равна 24.

Вниз   Решение

Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.

ВверхВниз   Решение

Пусть a – длина стороны правильного пятиугольника, d – длина его диагонали. Докажите, что  d² = a² + ad.

ВверхВниз   Решение

Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) взята точка O так, что OA = OB = b. В треугольнике ABC CD — высота, точка E— середина отрезка OC, DE = a. Найдите CE.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.

ВверхВниз   Решение

На рисунке изображена фигура ABCD . Стороны AB , CD и AD этой фигуры– отрезки (причём AB||CD и AD CD ); BC – дуга окружности, причём любая касательная к этой дуге отсекает от фигуры трапецию или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге BC , чтобы отсекаемая фигура имела наибольшую площадь.

ВверхВниз   Решение

Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB треугольника ABC равняется половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB, если она меньше $ \sqrt{\frac{3}{2}}$, а две другие стороны треугольника равны 2 и 3.

ВверхВниз   Решение

Прямоугольный треугольник ABC вписан в окружность. Из вершины C прямого угла проведена хорда CM, пересекающая гипотенузу в точке K. Найдите площадь треугольника ABM, если AK : AB = 1 : 4, BC = $ \sqrt{2}$, AC = 2.

Вверх   Решение

Задача 102304
Темы:    [ Теорема косинусов ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Прямоугольный треугольник ABC вписан в окружность. Из вершины C прямого угла проведена хорда CM, пересекающая гипотенузу в точке K. Найдите площадь треугольника ABM, если AK : AB = 1 : 4, BC = $ \sqrt{2}$, AC = 2.

Подсказка

Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Решение

Обозначим $ \angle$ABC = $ \beta$. Из прямоугольного треугольника ABC находим, что

AB = $\displaystyle \sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4+2}$ = $\displaystyle \sqrt{6}$, cos$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$.

Тогда BK = $ {\frac{3}{4}}$AB = $ {\frac{3}{4}}$$ \sqrt{6}$. По теореме косинусов из треугольника BKC находим, что

CK = $\displaystyle \sqrt{BC^{2}+BK^{2}-2\cdot BC\cdot BK \cos \beta}$ = $\displaystyle \sqrt{2+\frac{27}{8}-2\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{3}{4}\sqrt{6}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{19}{8}}$.

По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд CK . KM = AK . KB, откуда находим, что

KM = $\displaystyle {\frac{AK\cdot KB}{CK}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{\sqrt{6}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{6}}{4}}{\sqrt{\frac{19}{8}}}}$ = $\displaystyle {\frac{9\sqrt{2}}{4\sqrt{19}}}$.

Треугольники ABC и AMB имеют общее основание AB, поэтому их площади относятся как высоты, опущенных из вершин C и M. Отношение же указанных высот равно отношению отрезков CK и KM. Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ABM = $\displaystyle {\frac{KM}{CK}}$ . S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\frac{\frac{9\sqrt{2}}{4\sqrt{19}}}{\sqrt{\frac{19}{8}}}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2 . $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{19}}$$\displaystyle \sqrt{2}$.


Ответ

$ {\frac{9}{19}}$$ \sqrt{2}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3731
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .