Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Проведена окружность S с центром в вершине C равнобедренного треугольника ABC ( AC=BC ). Радиус окружности меньше AC . Найдите на этой окружности такую точку P , чтобы касательная к окружности, проведённая в этой точке, делила пополам угол APB .

Вниз   Решение

В треугольник ABC со сторонами  AB = 6,  BC = 5,  AC = 7  вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна на стороне AB и одна на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH в точке M. Найдите площадь треугольника DMC.

ВверхВниз   Решение

В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и площадью, равной 4, прямые BC и AD касаются окружности диаметром 2 в точках B и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна . Найдите величину угла MBN и длину основания AD .

ВверхВниз   Решение

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE, площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, а 3AC + 2BD = 5$ \sqrt{5}$.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

В описанном пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в центре O вписанной окружности.
Докажите, что отрезок BO и сторона DE перпендикулярны.

ВверхВниз   Решение

В трапеции ABCD с большим основанием BC и площадью, равной 4 , прямые BC и AD касаются окружности диаметром 2 в точках B и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна . Найдите величину угла MDN и длину основания BC .

ВверхВниз   Решение

Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

ВверхВниз   Решение

Автор: Малинникова Е.

В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.
Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)

ВверхВниз   Решение

Авторы: Игнатов Ю., Токарев С.И.

Куб размером 3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?

ВверхВниз   Решение

Автор: Произволов В.В.

На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так, что  BP = CQ.
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AM и CN пересекаются в точке D под прямым углом. Найдите все углы треугольника ABC и площадь четырёхугольника NBMD, если основание AC = 1.

Вверх   Решение

Задача 102454
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AM и CN пересекаются в точке D под прямым углом. Найдите все углы треугольника ABC и площадь четырёхугольника NBMD, если основание AC = 1.


Подсказка

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.


Решение

Поскольку треугольник равнобедренный, то его медианы, проведённые к боковым сторонам, равны, т.е. AM = CN.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому CD = $ {\frac{2}{3}}$ . CN = $ {\frac{2}{3}}$ . AM = AD.

Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADC находим, что CD = AC cos 45o = $ {\frac{\sqrt{2}}{2}}$. Тогда

DM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . AD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . CD = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{4}}$.

Из прямоугольного треугольника MDC находим, что

CM = $\displaystyle \sqrt{CD^{2}+DM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{8}}$.

Значит, BC = 2 . CM = 2$ \sqrt{\frac{5}{8}}$ = $ \sqrt{\frac{5}{2}}$.

Пусть BH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина AC. Из прямоугольного треугольника BHC находим, что

BH = $\displaystyle \sqrt{BC^{2}-CH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$.

Следовательно,

tg$\displaystyle \angle$BAC = tg$\displaystyle \angle$BCA = $\displaystyle {\frac{BH}{CH}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}}$ = 3.

Поскольку MN — средняя линия треугольника ABC, то MN = $ {\frac{1}{2}}$ . AC = $ {\frac{1}{2}}$ и MN$ \Vert$AC. Поэтому MN $ \perp$ BH.

Диагонали MN = $ {\frac{1}{2}}$ и BD = $ {\frac{2}{3}}$ . BH = 1 четырёхугольника NBMD перпендикулярны, следовательно,

SNBMD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . NM . BD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$.


Ответ

$ \angle$A = $ \angle$C = arctg3; $ \angle$B = $ \pi$ - 2arctg3; $ {\frac{1}{4}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3877
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .