На стороне AC треугольника ABC взята точка A₁, а на продолжении стороны BC за точку C взята точка C₁, длина отрезка A₁C равна 85% длины стороны AC, а длина отрезка BC₁ равна 120% длины стороны BC. Сколько процентов площади треугольника ABC составляет площадь треугольника A₁BC₁?

   Решение

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

   Решение

Найти натуральное наименьшее целое число n такое, что n делится на 19, а n+2 делится на 82.

   Решение

Найти такое трёхзначное число, удвоив которое, мы получим число, выражающее количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от единицы до этого искомого трёхзначного числа (включительно).

   Решение

В треугольнике ABC угол C – прямой. Из центра C радиусом AC описана дуга, пересекающая гипотенузу в точке D, а катет CB – в точке E.
Найдите угловые величины дуг AD и DE, если  ∠B = 40°.

   Решение

В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду успешной, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?

   Решение

У квадратного уравнения  x² + px + q = 0  коэффициенты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.

   Решение

Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.
Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.

   Решение

Тема:    [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9 Название задачи: Делимость на 7.

Прислать комментарий

Условие

Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.
Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.

Решение

Обозначим первую цифру нашего числа буквой a, вторую буквой b. По условию последняя цифра тоже равна a. Тогда наше число равно
100a + 10b + a = (98a + 7b) + 3(a + b).  Первое слагаемое делится на 7. Если второе слагаемое делится на 7, то и само число делится на 7. Обратно, если число делится на 7, то второе слагаемое  3(a + b)  делится на 7, следовательно, a + b делится на 7.

Источники и прецеденты использования