Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника
продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.
Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 222 ореха по двум коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 222. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую третью коробочку и предъявить Чичикову одну или две коробочки, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв.
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.
Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.
|
|
 |
Условие
Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.
Подсказка
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Решение
Пусть окружность радиуса r с центром A касается стороны угла в
точке A1, окружность радиуса R с центром B касается той же стороны угла в точке B1, а O1 – проекция центра O окружности с диаметром AB на эту сторону. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
AB = r + R. Значит, радиус окружности с диаметром AB равен ½ (R + r). С другой стороны, отрезок OO1 – средняя линия прямоугольной трапеции AA1B1B. Поэтому OO1 = ½ (AA1 + BB1) = ½ (R + r) = ½ AB. Следовательно, окружность с диаметром AB касается стороны угла.
Замечания
3 балла
