Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Суммы плоских углов при каждой из трёх вершин тетраэдра равны по 180o . Докажите, что все грани тетраэдра равны (т.е. тетраэдр – равногранный).
В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.
Докажите, что если все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр), то его развёртка на плоскость грани есть треугольник.
Касательная, проведенная через вершину M вписанного в
окружность треугольника KLM, пересекает продолжение стороны KL за
вершину L в точке N. Известно, что радиус окружности равен 2,
KM = и
MNK +
KML = 4
LKM. Найдите касательную MN.
Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две
равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на
части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат
контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику,
включая контур.)
Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать
четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на
любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же
плоскость) исходного многогранника: а) больше,
чем , б) не меньше, чем
, в)
не меньше, чем
?
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна ,
а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60o . Найдите
площадь полной поверхности пирамиды.
Пусть M – середина стороны BC треугольника ABC. Постройте прямую l, удовлетворяющую следующим условиям: l || BC, l пересекает треугольник ABC; отрезок прямой l, заключённый внутри треугольника, виден из точки M под прямым углом.
Условие
Пусть M – середина стороны BC треугольника ABC. Постройте прямую l, удовлетворяющую следующим условиям: l || BC, l пересекает треугольник ABC; отрезок прямой l, заключённый внутри треугольника, виден из точки M под прямым углом.
Решение 1
Проведём биссектрисы MK и ML углов AMB и AMC (см. рис.) Угол KML – прямой, так как он равен полусумме углов AMB и AMC, составляющих развёрнутый угол. По свойству биссектрисы BK : AK = MB : MA = MC : MA = CL : AL. По обратной теореме Фалеса прямые KL и BC параллельны.
Очевидно, что решение единственно.
Решение 2
Построим на основании BC как на диаметре полуокружность (см. рис.) и продолжим медиану AM до пересечения с этой полуокружностью в точке N. Проведём через точку M прямые, параллельные NB и NC до пересечения со сторонами соответственно AB и AC треугольника ABC в точках K и L.
Треугольник KLM получен из треугольника BCN гомотетией с центром в точке A (и коэффициентом AM : AN), поэтому ∠KML = ∠BNC и KL || BC.
Замечания
3 балла
