Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми рёбрами поставлено гранью ABC на плоскость. Точка F – середина ребра CD, точка S лежит на прямой AB, AB = 2BS, точка B лежит между A и S. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным?
В треугольнике ABC известно, что AB = 10, BC = 24, а медиана BD равна 13. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC касаются медианы BD в точках M и N соответственно. Найдите MN.
Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает
сторону AB в точке K и сторону AC в точке L. Найдите AB, если AK = KB, AL = l,
BCK =
,
CBL =
.
Показать, что если a > b > 0, то разность между средним
арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между и
Сумма трёх положительных углов равна 90o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?
AA1 — высота остроугольного треугольника ABC , H — точка пересечения высот, O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Найдите OH , если известно, что AH=3 , A1H=2 , а радиус окружности равен 4.
У каждого жителя города Тьмутаракань есть свои тараканы, не у всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ). Что больше: среднее количество тараканов, которыми владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?
При каких значениях c числа sin α и cos α являются корнями квадратного уравнения 5x² – 3x + c = 0 (α – некоторый угол)?
Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, SA, SB, SC – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к SA, проведёнными из точки A, к SB – из точки B, и к SC – из точки C, равна 180°.
|
|
 |
Условие
Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, SA, SB, SC – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к SA, проведёнными из точки A, к SB – из точки B, и к SC – из точки C, равна 180°.
Решение
Пусть окружность с центром O касается стороны AC в точке B1, а касательных к этой окружности, проведённых из точки B, – в точках B2 и B3. Тогда прямоугольные треугольники BOB2, BOB3, AOB1 и CO1 равны по катету (радиус этой окружности) и гипотенузе (радиус описанной окружности треугольника ABC). Поэтому ∠B2BB3 = ∠OAC + ∠OCA.
Аналогично остальные два угла равны ∠OAB + ∠OBA и ∠OBC + ∠OCB. Следовательно, сумма трёх углов, о которых говорится в условии задачи, равна
(∠OAC + ∠OCA) + (∠OAB + ∠OBA) + (∠OBC + ∠OCB) = (∠OAC + ∠OAB) + (∠OCA + ∠OCB) + (∠OBC + ∠OBA) = ∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°.
