ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108133
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Общие четырехугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .

Решение

Пусть P и Q – середины сторон соответственно AB и CD четырёхугольника ABCD , O1 – центр окружности, проходящей через точки A , M и C , O2 – центр окружности, роходящей через точки B , M и D . 1) Точки M , P и Q лежат на одной прямой. В самом деле, PQ – линия центров касающихся окружностей, значит прямая PQ проходит через их точку касания M . 2) Точки P и Q лежат на окружности с диаметром O1O2 . Действительно, AM – общая хорда пересекающихся окружностей с центрами O1 и P , поэтому она перпендикулярна их линии центров O1P . Аналогично O2P BM , а т.к. точка M лежит на окружности с диаметром AB , то AM BM . Поэтому O1PO2 = 90o . Аналогично докажем, что O1QO2 = 90o . Значит, отрезок O1O2 виден из точек P и Q под прямым углом. Следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром O1O2 . 3) Пусть H1 и H2 – проекции точек соответственно O1 и O2 на прямую PQ . Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то KH1 = H1M и LH2=H2M . 4) PH1=QH2 , т.к. проекция середины отрезка O1O2 делит отрезок H1H2 пополам; но эта проекция делит пополам и отрезок PQ (диаметр, перпендикулярный хорде). 5) Наконец,

|MK-ML| = 2|MH1-MH2|= 2|MP-MQ|=


=2|AB-CD| = |AB-CD|.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6483
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 63
Год 2000
вариант
Класс 10
задача
Номер 4
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 63
Год 2000
вариант
Класс 9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .