Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Для чисел 1, ..., 1999, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд.
Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.
На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?
B треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности. Прямая a проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины A, и параллельна OA. Aналогично определяются прямые b и c. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C, то AH + BH ≥ 2R.
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.
|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.
Решение 1
Пусть H – ортоцентр треугольника ABC. Рассмотрим гомотетию с центром в точке B, переводящую окружность S в окружность S' с диаметром BH. Если при этом точка A переходит в точку A', а точка C – в С', то точки A' и C' лежат на прямых BA и BC соответственно, касательная AC к окружности S переходит в касательную A'C' к окружности S' , медиана BN треугольника ABC – в медиану BN' треугольника A'BC'.
Поскольку HE' ⊥ AB, то CE' – высота треугольника ABC. Значит, ∠ABK = ∠ACE', а так как E'N – медиана прямоугольного
треугольника AE'C, проведённая из вершины прямого угла, то ∠
NE'C = ∠NCE' = ∠ACE' = ∠ABK = ∠E'BH.
Пусть O – центр окружности S'. Тогда ∠OE'N = ∠OE'H + ∠NE'C = (90° – ∠OE'B) + ∠E'BH = (90° – ∠E'BH) + ∠E'BH = 90°.
Следовательно, NE' – касательная к окружности S'. Аналогично, NF' – касательная к S'. Таким образом, касательные, проведённые к окружности S' в точках E' и F' пересекаются на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B. Следовательно, касательные к гомотетичной S' окружности S, проведённые в соответствующих точках E и F, также пересекаются на этой прямой.
Решение 2
Заметим, что ∠BEF = ∠BKF = ∠C (стороны последних двух углов взаимно перпендикулярны). Значит, треугольник FBE получается из треугольника ABC симметрией относительно биссектрисы угла B с последующей гомотетией с центром в точке B. Следовательно, медиана BN треугольника ABC совпадает с симедианой треугольника FBE. Но согласно задаче 56983 эта симедиана проходит через указанную в условии точку пересечения касательных.
