Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .
2002 год — год-палиндром, то есть одинаково читается справа налево и слева направо. Предыдущий год-палиндром был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годов-непалиндромов может идти подряд (между 1000 и 9999 годами)?
В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по
одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.
|
|
 |
Условие
В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка
K . Окружность s1 проходит через точку K и касается
прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1
с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2
проходит через точку K и касается прямых CB и CD ,
причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC
лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях
точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей
s1 и s2 , будут параллельны между собой.
Решение
При гомотетии с центром K , переводящей вершину A в вершину C , луч AB переходит в противоположно направленный с ним луч CD , луч AD – в противоположно направленный с ним луч CB , окружность s1 , вписанная вписанная в угол BAD , – в окружность s2 , вписанную в угол DCB . Поскольку окружности s1 и s2 гомотетичны относительно их общей точки K , то они касаются в этой точке. Значит, у них есть общая касательная в точке K . Эта касательная перпендикулярна линии центров этих окружностей. Пусть другой точке K' диагонали AC соответствует другая пара окружностей s1' и s2' . Окружности s1 и s1' вписаны в угол BAD , следовательно, гомотетичны с центром в точке A , а значит, их касательные, проведённые в точках K и K' соответственно, параллельны. Тогда параллельны и перпендикулярные им линии центров пар окружностей s1 , s2 и s1' и s2' .
