Можно ли вычеркнуть из произведения  1!·2!·3!·...·100!  один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?

   Решение

Может ли вершина параболы  у = 4х² – 4(а + 1)х + а  лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?

   Решение

Дан прямоугольный треугольник (см. рисунок). Приложите к нему какой-нибудь треугольник (эти треугольники должны иметь общую сторону, но не должны перекрываться даже частично) так, чтобы получился треугольник с двумя равными сторонами.

   Решение

  В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
    1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
    2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
  В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

   Решение

Члены Государственной Думы образовали фракции так, что для любых двух фракций A и B (не обязательно различных) – тоже фракция (через обозначается множество всех членов Думы, не входящих в C ). Докажите, что для любых двух фракций A и B A B – также фракция.

   Решение

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

   Решение

Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?

   Решение

Незнайка утверждает, что существует восемь таких последовательных натуральных чисел, что в разложение их на простые множители каждый множитель входит в нечётной степени (например, два таких последовательных числа:  23 = 23¹  и  24 = 2³·3¹).  Прав ли он?

   Решение

Сколько корней имеет уравнение sin x=x/100 ?

   Решение

Темы:    [ Тригонометрические уравнения ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Сколько корней имеет уравнение sin x=x/100 ?

Решение

Задачу легко решить на графике. Поскольку графики синуса и функции y=x/100 симметричны относительно начала координат, то достаточно рассмотреть правую часть графиков. Максимальное значение синуса равно 1. Поэтому точки пересечения графиков будут находиться в пределах тех значений x , для которых x/100 не превосходит 1, т. е. в пределах от 0 до 100. В этом промежутке содержится 100/2π периодов sin x , 100/2π 15,9 . В каждом периоде для sin x синусоида и график прямой y=100/x имеют две точки пересечения, причём в первой половине периода (рис.). Поэтому в пределах 15,5 периодов будет содержаться 32 точки пересечения графиков. Столько же точек пересечения графиков будет находиться слева от начала координат, но при этом необходимо учесть, что начало координат считается нами два раза. Поэтому всего данное уравнение имеет 63 корня.

Ответ

63 корня.

Источники и прецеденты использования