Версия для печати
Убрать все задачи

---

В равнобокой трапеции AВСD основания AD и ВС равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы ВАС и САD.

   Решение

---

а) На столе лежит 21 монета решкой вверх. За одну операцию разрешается перевернуть любые 20 монет. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом вверх?
б) Тот же вопрос, если монет 20, а разрешается переворачивать по 19.

   Решение

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

Решение

  Если ABCD– трапеция (скажем,  AB || CD),  то прямые L'L и N'N имеют общую точку пересечения с серединным перпендикуляром к AB, на котором лежат K, K', M и M'.
  Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые BC и AD – в точке F (см. рис.).

  Заметим, что точки K' и M' лежат на биссектрисе угла CFD (так как они равноудалены от прямых BC и AD). Пусть эта биссектриса пересекает AB и CD в точках P и Q соответственно.
  Так как четырёхугольник ABCD – вписанный и FP – биссектриса угла CFD, то  ∠FAP = ∠FCQ  и  ∠PFA = ∠CFQ,  то есть треугольники AFP и CFQ подобны. Значит,  ∠EPQ = ∠FPA = ∠FQC = ∠EQP.  Следовательно, биссектриса угла AED является высотой равнобедренного треугольника EPQ. Поскольку L' и N' лежат на этой биссектрисе, то  K'M' ⊥ L'N'.  Но биссектриса угла AED перпендикулярна KM, поэтому  KM || K'M'.  Аналогично  LN || L'N'.  Прямая KL перпендикулярна биссектрисе угла ABC, а значит, параллельна биссектрисе внешнего угла B, следовательно,  K'L' || KL  (аналогично  L'M' || LM).  Таким образом, у треугольников KLM и K'L'M' соответствующие стороны параллельны, а значит, они гомотетичны.
  При этой гомотетии K переходит в K', а M – в M', и так как параллельные прямые переходят в параллельные, то прямые KN и MN переходят в K'N' и M'N' соответственно, значит, N переходит в N'. Следовательно, прямые KK', LL', MM', NN' проходят через центр гомотетии.

Источники и прецеденты использования