Для чисел 1, ..., 1999, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд.
Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.

   Решение

На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?

   Решение

B треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности. Прямая a проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины A, и параллельна OA. Aналогично определяются прямые b и c. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

   Решение

В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если  ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C,  то  AH + BH ≥ 2R.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.

   Решение

Дан треугольник АВС. Точка О₁ – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О₂ и О₃ являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО₁, ВО₂ и СО₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Дан набор, состоящий из таких 100 различных чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе положительно.

   Решение

Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ да надо заплатить 2 рубля, за ответ нет – 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?

   Решение

Темы:    [ Числа Фибоначчи ] [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Линейные рекуррентные соотношения ] [ Системы счисления (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ да надо заплатить 2 рубля, за ответ нет – 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?

Решение

Пусть a₁=2 , a₂=3 , a_i=a_i-1+a_i-2 для i3 . Тогда a10=144 . Докажем по индукции, что среди не менее, чем a_i чисел, загаданное число нельзя угадать, заплатив менее, чем i+1 рубль.

Для i=1 и i=2 это верно.

Пусть чисел не менее, чем a_i . Тогда либо множество M чисел, выделенных в первом вопросе, содержит не менее a_i-2 чисел (первый случай), либо множество чисел, не попавших в M , содержит не менее a_i-1 чисел (второй случай). В первом случае, если загаданное число попало в M , то за ответ нужно заплатить 2 рубля, и, по предположению индукции, еще не менее (i-2)+1 рублей для того, чтобы угадать число, т.е. всего не менее i+1 рублей.
Во втором случае, если загаданное число не попало в M , то нужно заплатить 1 рубль за ответ и не менее чем (i-1)+1 рубль за угадывание числа, т.е. вновь всего не менее чем i+1 рублей.

Алгоритм отгадывания числа ясен из предыдущих рассуждений: на каждом шаге множество M из a_i чисел, содержащее загаданное число, нужно разбивать на множества M₁ из a_i-2 чисел и M₂ из a_i-1 чисел, и задавать вопрос о принадлежности числа множеству M₁ .

Ответ

11 рублей.

Источники и прецеденты использования