Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
Докажите, что уравнение x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1) не имеет решений в целых числах.
Окружность, построенная на стороне AC остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках K и L. Касательные к этой окружности, проведённые в точках K и L, пересекаются в точке M. Докажите, что прямая BM перпендикулярна AC.
Найдите x1000, если x1 = 4, x2 = 6, и при любом натуральном n ≥ 3 xn – наименьшее составное число, большее 2xn–1 – xn–2.
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в 45° с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки.
Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечётное число линий сетки?
На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными, а любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
|
|
 |
Условие
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
Решение
Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x1, ..., x10 и S. Тогда Следовательно,
Пусть nk = 3k (k = 1, ..., 10). Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа
удовлетворяют требованиям задачи.
Ответ
Существует.
