Версия для печати
Убрать все задачи

---

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB=c , A = α . Найдите радиус окружности, касающейся катета AC , гипотенузы AB и окружности, описанной около треугольника ABC .

   Решение

---

Три шара радиусов 1, 3 и 4 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найдите расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.

   Решение

---

Основания трапеции равны 2 и 12, а диагонали – 6 и 10. Найдите угол между диагоналями.

   Решение

---

Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC параллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L.
Докажите, что прямая KL делит отрезок OA пополам.

   Решение

---

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит её объём на две равные части. В каком отношении эта плоскость делит боковые рёбра пирамиды?

   Решение

---

Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится X лет в X² году.
А сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдёт в России?

   Решение

---

Объём тетраэдра ABCD равен V . На ребре AB взяты точки M и N , а на ребре CD – точки P и Q . Известно, что MN = α AB , PQ = β CD . Найдите объём тетраэдра MNPQ .

   Решение

---

Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?

   Решение

---

На ребре единичного правильного тетраэдра взята точка, которая делит это ребро в отношении 1:2. Через эту точку провежены две плоскости, параллельные двум граням тетраэдра. Эти плоскости отсекают от тетраэдра две треугольные пирамиды. Найдите объём оставшейся части тетраэдра.

   Решение

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Правильный тетраэдр ] [ Подобие ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На ребре единичного правильного тетраэдра взята точка, которая делит это ребро в отношении 1:2. Через эту точку провежены две плоскости, параллельные двум граням тетраэдра. Эти плоскости отсекают от тетраэдра две треугольные пирамиды. Найдите объём оставшейся части тетраэдра.

Решение

Высота правильного тетраэдра со стороной 1 равна , площадь основания равна . Следовательно, если V – объём такого тетраэдра, то

V = · · = .
Пусть точка M лежит на ребре CD данного правильного тетраэдра ABCD , причём = . Первая плоскость проходит через точку M параллельно плоскости ABC . Она отсекает от данного тетраэдра подобный ему тетраэдр, причём коэфиициент подобия равен = . Значит, объём отсечённого тетраэдра равен ()3· V = V . Вторая плоскость проходит через точку M параллельно плоскости ABD . Она отсекает от данного тетраэдра подобные ему тетраэдр, причём коэффициент подобия равен = . Значит, объём отсечённого тетраэдра равен ()3· V = V . Следовательно, объём оставшейся части тетраэдра равен
V - V - V = V - V = V = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования