Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

   Решение

---

Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей – вписанные четырёхугольники, причем радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть – четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.

   Решение

---

Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

   Решение

---

Доказать, что число  n⁵ – 5n³ + 4n  делится на 120 при любом натуральном n.

   Решение

---

На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели 10 головок, причём все ели поровну. У нескольких крыс от обжорства заболели животы. Остальные семь крыс следующей ночью доели оставшийся сыр, но каждая крыса смогла съесть вдвое меньше сыра, чем накануне. Сколько сыра было на складе первоначально?

   Решение

---

Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. A ∈ l, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

   Решение

Темы:    [ Прямая Симсона ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. A ∈ l, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

Решение

Решение.
Пусть P, M, N - середины [BD], [CF], [CG] соответственно.
Поскольку ABCD - параллелограмм, P ∈ [AC].
Т.к. |EC| = |EF|, [EM] ⊥ [CF], аналогично [EN] ⊥ [CG].

Рассмотрим гомотетию с центром в C и коэффициентом 1/2. При этом A, F, G отображаются в P, M, N. Таким образом, P, M, N лежат на одной прямой.
Пусть P' - основание высоты, опущенной из Е на BD. Т.к. Е лежит на окружности, описанной около треугольника BCD, точки P', M и N лежат на одной прямой (прямой Симпсона).

Таким образом, либо P=P', либо Е лежит на перпендикуляре к биссектрисе BD. Т.к. Ð BPE = Ð CME = π/2 и Ð PBE = Ð MCE, Δ PEB = Δ MEC, теперь Ð MNC = Ð MEC = Ð PEB = 1/2 Ð DEB = 1/2 Ð DCB = 1/2 Ð D.

Итак, l и прямая Симпсона PMN гомотетичны и параллельны.
Посему угол между l и AD равен углу между MN и BC, и, таким образом, l - биссектриса угла DAB.

Источники и прецеденты использования