ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .

   Решение

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  |PQ| = |QR|.

   Решение

Дано 101-элементное подмножество A множества  S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых  t₁, ..., t₁₀₀  из S множества   A_j = {x + t_j | x ∈ A;  j = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

   Решение

У каждого из жителей города N знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.

   Решение

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что  KO ⊥ AC.

   Решение

В трапеции ABCD  AB – основание,  AC = BC,  H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABMC , в котором AB=BC , BAM = 30^o , ACM= 150^o . Докажите, что AM – биссектриса угла BMC .

   Решение

Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, сядет между дядей Фёдором и котом, то кот станет крайним слева. В каком порядке они сидят?

   Решение

Если для вчера завтра был четверг, то какой день будет вчера для послезавтра?

   Решение

Пусть P(x) – многочлен степени  n > 1  с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Q_k(x) = P(P(...P(P(x))...))  (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых  Q_k(t) = t.

   Решение

Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  n^p – p  не делятся на q.

   Решение

Найдите все такие пары  (x, y)  целых чисел, что  1 + 2^x + 2^2x+1 = y².

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие пары  (x, y)  целых чисел, что  1 + 2^x + 2^2x+1 = y².

Решение

  Ясно, что  x ≥ 0.  Если  (x, y)  – решение, то  (x, – y)  – решение. Если  x = 0,  то  y = ±2;.
  Поэтому в дальнейшем считаем, что  x > 0,  y > 0.  Перепишем уравнение в виде  2^x(1 + 2^x+1) = (y – 1)(y + 1).  Тогда числа  y ± 1  чётны, причём одно делится на 4, а другое – нет. Поэтому  x ≥ 3,  и один из множителей делится на 2^x–1 и не делится на 2^x.
  Отсюда  y = 2^x–1n + ε,  где n нечётно,  ε = ±1.  При этом одно из чисел  y – 1,  y + 1  равно 2^x–1n, а другое –  2^x–1n + 2ε.  Подставляя, получим
2^x(1 + 2^x+1) = 2^2x–2n² + 2^xnε,  то есть  1 – nε = 2^x–2(n² – 8).
  Если  ε = 1,  то это равенство невозможно.
  При  ε = –1,  n + 1 = 2^x–2(n² – 8) ≥ 2(n² – 8).  Следовательно,  n ≤ 3.  Отсюда  n = 3,  x = 4,  y = 23.

Ответ

(0, ±2),  (4, ± 23).

Источники и прецеденты использования