Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых t1, ..., t100 из S множества
Aj = {x + tj | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
У каждого из жителей города N знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.
Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что KO ⊥ AC.
В трапеции ABCD AB – основание, AC = BC, H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.
Дан выпуклый четырёхугольник ABMC , в котором
AB=BC , BAM = 30o ,
ACM=
150o . Докажите, что AM – биссектриса
угла BMC .
Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, сядет между дядей Фёдором и котом, то кот станет крайним слева. В каком порядке они сидят?
Если для вчера завтра был четверг, то какой день будет вчера для послезавтра?
Пусть P(x) – многочлен степени n > 1 с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Qk(x) = P(P(...P(P(x))...)) (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых Qk(t) = t.
|
|
 |
Условие
Пусть P(x) – многочлен степени n > 1 с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Qk(x) = P(P(...P(P(x))...)) (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых Qk(t) = t.
Решение
Лемма. Пусть a1, a2, ..., am – различные числа, а числа b1, b2, ..., bm таковы, что |ai – aj| = |bi – bj| для всех i, j от 1 до m. Тогда найдётся такая линейная функция f(x), что bi = f(ai) для всех i от 1 до m.
Доказательство. Предположим, что в равенстве |ai – aj| = |bi – bj| для пар различных индексов (r, s) и (s, t) модуль раскрывается с разным знаком, то есть ar – as = br – bs, а as – at = bt – bs. Складывая, получим ar – at = br + bt – 2bs. Но ar – at = ±(br – bt), откуда bs = br или
bs = bt, а значит, и
as = ar или as = at. Противоречие.
Следовательно если a2 – a1 = b2 – b1, то ai – a1 = bi – b1 для всех i, и можно взять f(x) = x + (b1 – a1). Если же a2 – a1 = b1 – b2, то аналогично можно взять f(x) = –x + (b1 + a1).
Перейдём к решению задачи. Предположим, что найдутся такие различные целые числа x1, ..., xn+1, что Qk(xi) = xi для i от 1 до n + 1. Тогда
xi – xj = Qk–1(P(xi)) – Qk–1(P(xj)) и по теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562) делится на P(xi) – P(xj), а P(xi) – P(xj), в свою очередь, делится на xi – xj. Отсюда |xi – xj| = |P(xi) – P(xj)|, и по лемме найдётся такая линейная функция f(x), что P(xi) = f(xi) для i от 1 до
n + 1, то есть x1, ..., xn+1 являются корнями многочлена P(x) – f(x) степени n. Противоречие.
