Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Внутри круга расположены точки A1, A2, ..., An, а на его границе – точки B1, B2, ..., Bn так, что отрезки A1B1, A2B2, ..., AnBn не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки Ai в точку Aj, если отрезок AiAj не пересекается ни с одним из отрезков AkBk, k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки Ap в любую точку Aq.
Четырёхугольник ABCD — вписанный. Докажите, что
Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что BX = BY.
К двум непересекающимся окружностям ω1 и ω2 проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω1 в точках A1, B1 и C1 соответственно, а окружности ω2 – в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равно отношению радиусов окружностей ω1 и ω2.
В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе Докажите, что α –
иррациональное число.
a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.
|
|
 |
Условие
a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.
Решение
Назовём пару (a, b) хорошей, если (4a² – 1)² делится на 4ab – 1.
b²(4a² – 1)² – a²(4b² – 1)² делится на (4a² – 1)b + (4b² – 1)a = (a + b)(4ab – 1), а поэтому и на 4ab – 1. Отсюда следует (поскольку a² и 4ab – 1 взаимно просты), что если пара (a, b) хорошая, то и пара (b, a) хорошая.
Среди хороших пар есть тривиальные – все пары вида (a, a).
Назовём число плохим, если оно входит в нетривиальную хорошую пару. Пусть a – наименьшее плохое число, а b > a входит с ним в одну хорошую пару.
Заметим, что число (поскольку 4ab – 1 > 4a² – 1). Кроме того, d делится на 4a (поскольку (4a² – 1)² + 4ab – 1 делится на 4a, а 4a и 4ab – 1 взаимно просты). Поэтому число b1 = d/4a – целое и меньше a. Но (4a² – 1)² делится на 4ab1 – 1 = d – 1, то есть (a, b1) – хорошая пара. Противоречие.
