В равнобедренную трапецию KLMN ( LMKN) вписана окружность, касающася сторон LM и KN в точках P и Q соответственно, KN = 4, PQ = 4. Прямая CN пересекает отрезок PQ в точке C, а вписанную окружность — в точках A и B (A между N и C), PC : CQ = 3. Найдите AC.

   Решение

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

   Решение

Решить уравнение 2-log _{sin x} cos x=log _{cos x} sin x.

   Решение

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся равны c . Найдите косинус угла между рёбрами, равными a .

   Решение

Равнобедренный треугольник с углом 120° сложен ровно из трёх слоёв бумаги. Треугольник развернули – и получился прямоугольник. Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.

   Решение

Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, угол между диагоналями равен 60^o . Найдите периметр трапеции.

   Решение

Дан треугольник ABC и точка P внутри него. A' , B' , C' – проекции P на прямые BC , CA , AB . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'B'C' , лежит внутри треугольника ABC .

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Гомотетичные многоугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и точка P внутри него. A' , B' , C' – проекции P на прямые BC , CA , AB . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'B'C' , лежит внутри треугольника ABC .

Решение

Пусть A₁ , B₁ , C₁ – точки, симметричные P относительно BC , CA , AB . Так как CA₁=CP=CB₁ , серединный перпендикуляр к отрезку A₁B₁ совпадает с биссектрисой угла A₁CB₁ . Так как A₁CB₁=2 ACB , эта биссектриса проходит внутри угла ACB (рис.8.6). Аналогично, серединные перпендикуляры к отрезкам A₁C₁ и B₁C₁ проходят внутри соответствующих углов треугольника ABC . Следовательно, центр Q окружности, описанной около треугольника A₁B₁C₁ , лежит внутри треугольника ABC . Так как треугольник A'B'C' получается из треугольника A₁B₁C₁ гомотетией с центром P и коэффициентом , центр окружности, описанной около A'B'C' , совпадает с серединой отрезка PQ и, значит, лежит внутри ABC .

Источники и прецеденты использования