Задача 110794

Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Периметр треугольника ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Отношения площадей (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника ABC, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.

Решение

Согласно задаче 55462 указанная прямая проходит через центр I вписанной окружности. Эта прямая содержит не более одной вершины треугольника. Пусть она не проходит через вершины A и B. Так как AI, BI – биссектрисы углов HAO, HBO, получаем, что  AH : AO = HI : IO = BH : BO.  Так как
AO = BO,  то  AH = BH,  то есть треугольник ABC равнобедренный и искомое отношение равно  1 : 1.

Ответ

1 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	9
задача
Номер	95