Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.
а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?
б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идёт последовательно?
Дан куб со стороной 4. Можно ли целиком оклеить три его грани, имеющие общую вершину, 16 бумажными прямоугольными полосками размером 1×3?
В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.
Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A1A2...A1998. Из середины стороны A1A2 выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A2A3, A3A4, ..., A1998A1 (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.
В последовательности натуральных чисел {an}, n = 1, 2, ..., каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных n и m выполнено неравенство Докажите, что тогда |an – n| < 2000000 для всех натуральных n.
Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).
Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?
Найдите объём тетраэдра ABCD с рёбрами AB=3 , AC=5 и BD = 7 , если расстояние между серединами M и N его рёбер AB и CD равно 2, а прямая AB образует равные углы с прямыми AC , BD и MN .
|
|
 |
Условие
Найдите объём тетраэдра ABCD с рёбрами AB=3 , AC=5 и
BD = 7 , если расстояние между серединами M и N его рёбер
AB и CD равно 2, а прямая AB образует равные углы с прямыми
AC , BD и MN .
Решение
Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда APBQECGD , проведя через его
противоположные рёбра пары параллельных плоскостей ( AE || PC ||
BG || QD ). Тогда AE || MN , AE=MN = 2 .
На продолжении отрезка CE за точку E отложим отрезок EF , равный CE . Тогда
AFEP – параллелограмм, поэтому AF || PE || BD и
AF=PE = BD = 7 .
Поскольку прямая AB образует равные углы с прямыми
BD и MN , она образует равные углы и с параллельными им прямыми AF и AE .
Значит, прямая AB образует равные углы с прямыми AF , AE и AC , лежащими
в плоскости AECP . Поэтому ортогональная проекция точки B на эту плоскость
попадает на биссектрису каждого из углов между прямыми AF и AE , AF и AC ,
AE и AC . Следовательно, ортогональная проекция точки B на плоскость AECP
совпадает с точкой A , т.е. AB – перпендикуляр к этой плоскости. Значит,
AB – высота четырёхугольной пирамиды BAECP , основание которой – параллелограмм
AEСP со сторонами AE=CP= 2 и диагоналями AC=5 и EP=7 .
На продолжении ребра AE за точку E отложим отрезок EH = AE=2 . Тогда AH=2AE = 4 ,
CH=PE=7 , а
Заметим, что и объём тетраэдра ABCD и объём пирамиды BAECP равны третьей части объёма параллелепипеда APBQECGD . Следовательно,
Ответ
4 .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8631 |
