Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие соседние точки касания и не пересекающиеся в одной из этих точек, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей.
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты.
Докажите, что их центры образуют квадрат.
Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.
На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток
окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа
можно вырезать конечное число квадратов так, что будут
выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных
квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток
составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади K.
Докажите, что
+
+
=
.
ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что
ma2 + mb2 > 29r2.
Являются ли подобными два прямоугольника: картина в рамке и
картина без рамки, если ширина рамки всюду одинакова (см. рис.)?
Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?
|
|
 |
Условие
Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?
Решение
Каждого студента "видят" 2, 3 или 6 храпометров (см. рис). Значит, 7 разбивается в сумму слагаемых, каждое из которых равно 2, 3 или 6. Легко видеть, что 7 представляется в виде такой суммы единственным образом: 7 = 3 + 2 + 2. Количество слагаемых равно количеству студентов.
Ответ
3 студента.
