Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.
Первая окружность с центром в точке A касается сторон угла KOL в точках K и L.
Вторая окружность с центром в точке B касается отрезка OK, луча LK
и продолжения стороны угла OL за точку O. Известно, что отношение радиуса
первой окружности к радиусу второй окружности равно
.
Найдите отношение отрезков OB и OA.
Микрокалькулятор МК-97 умеет над числами, занесенными в память, производить только три операции:
1) проверять, равны ли выбранные два числа,
2) складывать выбранные числа,
3) по выбранным числам a и b находить корни уравнения x² + ax + b = 0, а если корней нет, выдавать сообщение об этом.
Результаты всех действий заносятся в память. Первоначально в памяти записано одно число x. Как с помощью МК-97 узнать, равно ли это число единице?
Найти решение уравнения в целых числах.
В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, AA1, BB1 и CC1 – высоты. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке X, а прямые MC1 и AC – в точке Y. Докажите, что XY || BC .
Найдите наименьшее значение x² + y², если x2 – y² + 6x + 4y + 5 = 0.
Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
находится на расстояниях и
от
концов гипотенузы. Найдите катеты.
|
|
 |
Условие
Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
находится на расстояниях и
от
концов гипотенузы. Найдите катеты.
Решение
Пусть r – радиус окружности с центром O , вписанной в прямоугольный
треугольник ABC с гипотенузой AB , OA= , OB =
.
Поскольку AO и BO – биссектрисы острых углов треугольника,
По теореме косинусов
Высота треугольника AOB , проведённая из вершины O равна r . Выражая двумя способами площадь этого тругольника, получим, что
откуда r =1 . Пусть M – точка касания вписанной окружности треугольника ABC с катетом AC . Тогда
Следовательно,
Ответ
3 Х 4.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4573 |
