Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t) = 7,2-1,92t+0,128t2 , где t — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?
Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.
На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T0+at+bt2 , где T0 = 1280 К, a = 26 К/мин, b = -0,2 К/ мин2 . Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.
На доске написаны два различных натуральных числа a и b. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число (которое может уже оказаться нецелым). С полученной парой чисел делают ту же операцию и т.д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа.
На сторонах AB, BC и CA произвольного треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Обозначим через S1, S2 и S3 площади треугольников AB1C1, BA1C1, CA1B1 соответственно. Докажите, что
Биссектриса CD угла ACB при основании BC равнобедренного треугольника ABC делит сторону AB так, что AD=BC . Найдите биссектрису CD и площадь треугольника ABC , если BC=2 .
Даны точки A(–1, 5) и B(3, –7). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка AB.
Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором ∠B = 120°. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что ∠PQB = 2∠PCQ.
В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.
|
|
 |
Условие
В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.
Решение
Проведём через A прямую, параллельную линии центров данных сфер, и найдём вторые точки C, D ее пересечения со сферами. Покажем, что середина B отрезка CD – искомая точка. Возьмем произвольную окружность, проходящую через A и B, и рассмотрим сечения сфер плоскостью этой окружности. Эти сечения представляют собой две окружности, одна из которых проходит через точки A и C, другая – через A и D. Центрами этих окружностей будут проекции O1, O2 центров сфер на плоскость сечения, следовательно, прямые O1O2 и CD параллельны. Поэтому достаточно доказать плоский аналог утверждения задачи.
Пусть X1, X2 – вторые точки пересечения окружности, проходящей через A и B, с данными окружностями; A' – вторая точка пересечения данных окружностей. Тогда O1O2 – средняя линия треугольника A'CD, то есть CB = BD = O1O2. Следовательно, O1B = O2D = O2X2, O2B = O1C = O1C1. Кроме того, центр O окружности ABX1X2O1 и O2, поэтому
∠BO1X1 = ∠BO1O + ∠OO1X1 = ∠BO1O + ∠AO1O =
∠AO2O + ∠BO2O = ∠BO2O + ∠OO2X2 = ∠BO2X2. Таким образом, треугольники O1X1B и O2BX2 равны, а значит, BX1 = BX2.
