Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(- 2;1), B(9;3) и C(1;7).

   Решение

На диагонали AC нижней грани единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отложен отрезок AE длины l . На диагонали B₁D₁ его верхней грани отложен отрезок B₁F длиной ml . При каком l (и фиксированном m>0 ) длина отрезка EF будет наименьшей?

   Решение

На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки K, M и N соответственно так, что угол MKB равен углу MNC, а угол KMB равен углу KNA. Докажите, что NB – биссектриса угла MNK.

   Решение

Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.

   Решение

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.

Решение

  Отразим картинку относительно основания AС (см. рис.). Заметим. что треугольники ABM₁ и B₁BN₁ равны (один получается из другого поворотом на 60° вокруг точки B).

  Первый способ. Нам достаточно доказать, что  S_BPQ = S_APM1 + S_CQN1.
  Добавив к обеим частям S_M1PQN1B1, сведём задачу к доказательству равенства  S_ACB1 = S_BM1B1N1.  По доказанному
S_BM1B1N1 = S_M1BB1 + S_B1BN1 = S_M1BB1 + S_ABM1 = S_ABB1 = S_ACB1.

  Второй способ. Из этого следует, что  MB = M₁B₁ = N₁C.  Проведём отрезок MN₁, пересекающий AC в точке O (см. рис.).

  В силу симметрии отрезок NM₁ пройдёт через ту же точку O. Так как отрезки MB и N₁C параллельны и равны, то MBCN₁ – параллелограмм, а BON₁C – трапеция. Значит,  S_BOQ = S_CN1Q = S_CNQ  (см. задачу 54961). Аналогично  S_BOP = S_AM1P = S_AMP.  Значит,
S_PQB = S_BOP + S_BOQ = S_AMP + S_CNQ.

Замечания

1. Второй способ основан на работе участницы олимпиады Татьяны Неретиной.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования