Версия для печати
Убрать все задачи

---

За круглым столом сидят 30 человек – рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причём у рыцаря этот друг – лжец, а у лжеца этот друг – рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос "Сидит ли рядом с вами ваш друг?" сидевшие через одного ответили "Да". Сколько из остальных могли также ответить "Да"?

   Решение

---

Даны различные натуральные числа  a₁, a₂, ..., a₁₄.  На доску выписаны все 196 чисел вида  a_k + a_l,  где  1 ≤ k, l ≤ 14.  Может ли оказаться, что для каждой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдётся хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00, 01, 02, ..., 99)?

   Решение

---

Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от 1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их сумма равна 987654321.
  а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары   ((a, b)  и  (b, a)  – одна и та же пара).
  б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.

   Решение

---

Дано:

Докажите, что  

   Решение

---

На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через неё хорду BD так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей.

   Решение

---

Числа 2¹⁹⁸⁹ и 5¹⁹⁸⁹ выписали одно за другим (в десятичной записи). Сколько всего цифр выписано?

   Решение

---

Десятичная запись натурального числа a состоит из n цифр, а десятичная запись числа a³ состоит из m цифр. Может ли  m + n  равняться 2001?

   Решение

---

Шесть игральных костей нанизали на спицу так, что каждая может вращаться независимо от остальных (протыкаем через центры противоположных граней). Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях костей. Докажите, что можно так повернуть кости, чтобы это число делилось на 7. (На гранях стоят цифры от 1 до 6, сумма цифр на противоположных гранях равна 7.)

   Решение

---

Окружность S₁ касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S₂ касается прямой AC в точке C и проходит через точку B. Окружность S₁ она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

   Решение

---

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).

   Решение

---

В трапеции ABCD известно, что AB=BC=CD . Диагонали трапеции пересекаются в точке O . Окружность, описанная около треугольника ABO , пересекает основание AD в точке E . Докажите, что BEDC — ромб.

   Решение

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD известно, что AB=BC=CD . Диагонали трапеции пересекаются в точке O . Окружность, описанная около треугольника ABO , пересекает основание AD в точке E . Докажите, что BEDC — ромб.

Решение

Диагонали равнобедренной трапеции образуют равные углы с основанием, поэтому

BDC = DBC = BCA= CAD,
а т.к. вписанные в окружность углы OAE и OBE опираются на одну и ту же дугу, то
CAD = OAE = OBE= DBE.
Таким образом, BDC = DBE , следовательно, BE || CD . Тогда четырёхугольник BEDC — параллелограмм с равными соседними сторонами. Следовательно, BEDC — ромб.

Из равенства BC=CD и свойств равнобедренной трапеции следует, что
CBO = CBD = CAB = OAB.
Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, BC — касательная к окружности, описанной около треугольника AOB . Хорда AE параллельна этой касательной, значит, треугольник ABE — равнобедренный, поэтому BE=AB=BC и BEA = BAE = CDA . Следовательно, BE || CD . Тогда четырёхугольник BEDC — параллелограмм с равными соседними сторонами, т.е. ромб.

Источники и прецеденты использования