Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 150-15p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q· p составит не менее 360 тыс. руб.
Натуральное число n таково, что 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число 29n + 11 – составное.
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E, AB = AD, CA – биссектриса угла C, ∠BAD = 140°, ∠BEA = 110°.
Найдите угол CDB.
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R=50 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление Ry этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rx и Ry их общее сопротивление даётся формулой R= , а для нормального функционирования электросети, общее сопротивление в ней должно быть не меньше 30 Ом.
Из условия
tgϕ=1/ cosα cosβ+ tgα tgβ вывести,
что cos 2ϕ 0 .
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.
Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.
Дана точка M(x;y). Найдите координаты точки, симметричной точке M относительно: а) оси OX; б) оси OY.
Окружность C2 расположена внутри окружности C1 и касается
ее в точке P. Секущая MN окружности
C1(M, N C1) и секущая
ST окружности C2 (
S, T
C2) пересекаются в точке Q,
причем PQ является касательной к окружности C1. Отрезки NS и TM
пересекаются в точке O. Площадь треугольника MON в 16 раз больше
площади треугольника OTS. Найдите длину отрезка PQ, если SQ = 9,
MQ = 6 и
TQ > SQ, NQ > MQ.
Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.
Треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A2B2C2, равный треугольнику A1B1C1 и такой, что прямые AA2, BB2 и CC2 будут параллельны?
|
|
 |
Условие
Треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A2B2C2, равный треугольнику A1B1C1 и такой, что прямые AA2, BB2 и CC2 будут параллельны?
Решение
Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то способ построения очевиден. В противном случае можно считать, что AB ≠ A1B1 (пусть для определенности AB < A1B1).
Тогда ABB'A' – трапеция. Пусть MN – её средняя линия, а P – точка пересечения продолжений боковых сторон. Построим на отрезке PC, как на диаметре, окружность ω. Так как AB < A1B1 = A'B', SABC = SA1B1C1 = SA'B'C, то расстояние от точки C до прямой AB больше расстояния от C до прямой A'B', поэтому точки P и C лежат по разные стороны от прямой MN, следовательно, ω пересекает прямую MN. Пусть K – одна из точек пересечения (на рисунке она лежит на отрезке MN, но наши рассуждения на это опираться не будут).
Проведём прямую PK до пересечения с прямыми AB и A'B' в точках X и Y соответственно. Тогда AX : XB = A'Y : YB', поэтому SXBC = SYB'C. Кроме того, XK = KY, а угол PKC – прямой как опирающийся на диаметр в окружности ω. Значит, CK – серединный перпендикуляр к отрезку XY, и CX = CY.
На продолжении отрезка XC за точку C возьмём такую точку Z, что XC = CZ. Построим треугольники A2CZ и B2CZ, равные треугольникам A'CY и B'CY соответственно. Тогда треугольники A2B2C, A'B'C и A1B1C1. Покажем, что AA2 || BB2 (тогда можно сдвинуть треугольник A2B2C вдоль прямой AA2, получив требуемый). Так как CX = CZ, SABC = SA2B2C и SXBC = SZB2C, то SXAC = SZA2C, расстояния от точек A и A2 до прямой XZ равны, и расстояния от точек B и B2 до прямой XZ также равны. Следовательно, AA2 || XZ || BB2, что и требовалось.
