Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 150-15p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q· p составит не менее 360 тыс. руб.

Вниз   Решение


Натуральное число n таково, что  3n + 1  и  10n + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29n + 11  – составное.

ВверхВниз   Решение


Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E,  AB = AD,  CA – биссектриса угла C,  ∠BAD = 140°,  ∠BEA = 110°.
Найдите угол CDB.

ВверхВниз   Решение


В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  R=50 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление Ry этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rx и Ry их общее сопротивление даётся формулой R= , а для нормального функционирования электросети, общее сопротивление в ней должно быть не меньше 30 Ом.

ВверхВниз   Решение


Из условия tgϕ=1/ cosα cosβ+ tgα tgβ вывести, что cos 2ϕ 0 .

ВверхВниз   Решение


Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.

ВверхВниз   Решение


Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.

ВверхВниз   Решение


Дана точка M(x;y). Найдите координаты точки, симметричной точке M относительно: а) оси OX; б) оси OY.

ВверхВниз   Решение


Окружность C2 расположена внутри окружности C1 и касается ее в точке P. Секущая MN окружности C1(M, N $ \in$ C1) и секущая ST окружности C2 ( S, T $ \in$ C2) пересекаются в точке Q, причем PQ является касательной к окружности C1. Отрезки NS и TM пересекаются в точке O. Площадь треугольника MON в 16 раз больше площади треугольника OTS. Найдите длину отрезка PQ, если SQ = 9, MQ = 6 и TQ > SQ, NQ > MQ.

ВверхВниз   Решение


Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

ВверхВниз   Решение


Треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A2B2C2, равный треугольнику A1B1C1 и такой, что прямые AA2, BB2 и CC2 будут параллельны?

Вверх   Решение

Задача 115419
Темы:    [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Треугольник (построения) ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A2B2C2, равный треугольнику A1B1C1 и такой, что прямые AA2, BB2 и CC2 будут параллельны?


Решение

  Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то способ построения очевиден. В противном случае можно считать, что  AB ≠ A1B1  (пусть для определенности  AB < A1B1).

  Построим такой треугольник A'B'C, что  AB || A'B'A'B' = A1B1B'C = B1C1CA' = C1A1 (см. рис.; это построение легко осуществить, например, используя равенство  ∠BCB' = ∠B + ∠B1).
  Тогда ABB'A' – трапеция. Пусть MN – её средняя линия, а P – точка пересечения продолжений боковых сторон. Построим на отрезке PC, как на диаметре, окружность ω. Так как  AB < A1B1 = A'B'SABC = SA1B1C1 = SA'B'C,  то расстояние от точки C до прямой AB больше расстояния от C до прямой A'B', поэтому точки P и C лежат по разные стороны от прямой MN, следовательно, ω пересекает прямую MN. Пусть K – одна из точек пересечения (на рисунке она лежит на отрезке MN, но наши рассуждения на это опираться не будут).
  Проведём прямую PK до пересечения с прямыми AB и A'B' в точках X и Y соответственно. Тогда  AX : XB = A'Y : YB',  поэтому  SXBC = SYB'C.  Кроме того,  XK = KY,  а угол PKC – прямой как опирающийся на диаметр в окружности ω. Значит, CK – серединный перпендикуляр к отрезку XY, и  CX = CY.
  На продолжении отрезка XC за точку C возьмём такую точку Z, что  XC = CZ.  Построим треугольники A2CZ и B2CZ, равные треугольникам A'CY и B'CY соответственно. Тогда треугольники A2B2C, A'B'C и A1B1C1. Покажем, что  AA2 || BB2  (тогда можно сдвинуть треугольник A2B2C вдоль прямой AA2, получив требуемый). Так как  CX = CZ,  SABC = SA2B2C  и  SXBC = SZB2C, то  SXAC = SZA2C,  расстояния от точек A и A2 до прямой XZ равны, и расстояния от точек B и B2 до прямой XZ также равны. Следовательно,  AA2 || XZ || BB2,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008-2009
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .