Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.
Первая окружность с центром в точке A касается сторон угла KOL в точках K и L.
Вторая окружность с центром в точке B касается отрезка OK, луча LK
и продолжения стороны угла OL за точку O. Известно, что отношение радиуса
первой окружности к радиусу второй окружности равно
.
Найдите отношение отрезков OB и OA.
Микрокалькулятор МК-97 умеет над числами, занесенными в память, производить только три операции:
1) проверять, равны ли выбранные два числа,
2) складывать выбранные числа,
3) по выбранным числам a и b находить корни уравнения x² + ax + b = 0, а если корней нет, выдавать сообщение об этом.
Результаты всех действий заносятся в память. Первоначально в памяти записано одно число x. Как с помощью МК-97 узнать, равно ли это число единице?
Найти решение уравнения в целых числах.
В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, AA1, BB1 и CC1 – высоты. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке X, а прямые MC1 и AC – в точке Y. Докажите, что XY || BC .
Найдите наименьшее значение x² + y², если x2 – y² + 6x + 4y + 5 = 0.
Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
находится на расстояниях и
от
концов гипотенузы. Найдите катеты.
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, принадлежащими k авиакомпаниям. Известно, что каждые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбить на k + 2 группы так, что никакие два города из одной группы не соединены авиалинией.
Год проведения нынешнего математического праздника делится на его номер: 2006 : 17 = 118.
а) Назовите первый номер матпраздника, для которого это тоже было выполнено.
б) Назовите последний номер матпраздника, для которого это тоже будет выполнено.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон BC и AD . В каком отношении она делит диагональ BD ?
|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит пополам отрезок, соединяющий середины
сторон BC и AD . В каком отношении она делит диагональ BD ?
Решение
Пусть P — середина BC , Q — середина AD , N — середина PQ .
Первый способ. Выберем на прямой AC такие точки K и L (см. верхний рисунок), что
BK||PQ||DL . Тогда в треугольнике BCK отрезок PN параллелен основанию и проходит через
середину стороны, так что это средняя линия, откуда BK=2PN . Аналогично DL=2QN . Так как PN=QN ,
то DL=BK . Поскольку BK||DL и BK=DL , то BKDL — параллелограмм, поэтому KL делит BD
пополам.
Второй способ. Пусть T — середина отрезка AB . Проведем отрезки TP и TQ (см. нижний рисунок). Тогда TP — средняя линия треугольника ABC , следовательно, TP||AC . В треугольнике PQT прямая AC делит сторону PQ пополам и параллельна TP , поэтому она пересекает сторону TQ в ее середине. Так как TQ||BD , то прямая AC делит пополам отрезок BD .
Третий способ. Снабдим вершины четырёхугольника единичными массами. Тогда центром масс этой системы будет точка N . Но центром масс точек A и C является середина отрезка AC , аналогично и для точек B и D . Значит, N — середина отрезка, соединяющего середины AC и BD . Таким образом, AC делит отрезок BD пополам.
Четвертый способ. Пусть
Ответ
пополам.
