Решите в целых числах уравнение  (x² – y²)² = 1 + 16y.

   Решение

Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна .

   Решение

а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать?
б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?

   Решение

На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.

   Решение

Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6 . Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Точки K , L , M и N лежат на сторонах AB , BC , CD и AD соответственно, причём точка O лежит на отрезках KM и LN и делит их пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

   Решение

Тема:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Точки K , L , M и N лежат на сторонах AB , BC , CD и AD соответственно, причём точка O лежит на отрезках KM и LN и делит их пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Решение

Предположим, например, что OC>OA . Тогда при симметрии относительно точки O точка A перейдёт в точку, лежащую на отрезке OC . Если при этом OB OD , то вершина B перейдёт в точку, лежащую на отрезке OD , значит, точка M перейдёт в точку, лежащую внутри треугольника COD , что невозможно, т.к. точка M симметрична точке K относительно O . Если же OB>OD , то аналогично рассмотрим образ треугольника AOD при симметрии относительно точки O .

Источники и прецеденты использования