Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Какими должны быть значения a и b, чтобы многочлен x4 + x³ + 2x² + ax + b был полным квадратом?
Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили 2007. Каким могло быть исходное число?
В некоторый угол B вписаны две непересекающиеся окружности. Окружность большего радиуса касается сторон этого угла в точках A и C, меньшего — в точках A1 и C1(точки A, A1 и C, C1 лежат на разных сторонах угла B). Прямая AC1 пересекает окружности большего и меньшего радиусов в точках E и F соответственно. Найдите отношение площадей треугольников ABC1 и A1BC1, если A1B = 2, EF = 1, а длина AE равна среднему арифметическому длин BC1 и EF.
Пусть многочлен P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a0 имеет хотя бы один действительный корень и a0 ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a0 так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B0 – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A1C1 пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB0 и PQ параллельны.
Найдите расстояние между точкой A(1, 7) и точкой пересечения прямых x – y – 1 = 0 и x + 3y – 12 = 0.
В трапеции KLMN известно, что
LMKN,
KLM =
, LM = l, KN = k, MN = a. Окружность проходит через точки
M и N и касается прямой KL в точке A. Найдите площадь
треугольника AMN.
Сфера проходит через точки A , B , C , D и пересекает отрезки
SA , SB , SC , SD в точках A1 , B1 , C1 , D1
соответственно. Известно, что SD1 = , DD1 =
, отношение площадей треугольников SA1B1 и SAB
равно
, отношение объёмов пирамид SB1C1D1 и
SBCD равно
, а отношение объёмов пирамид
SA1B1C1 и SABC равно
. Найдите отрезки
SA1 , SB1 , SC1 .
Решить уравнение (x² – x + 1)4 – 10x²(x² – x + 1)² + 9x4 = 0.
Боря и Миша едут в поезде и считают столбы за окном: "один, два, ...". Боря не выговаривает букву "Р", поэтому при счете он пропускает числа, в названии которых есть буква "Р", а называет сразу следующее число без буквы "Р". Миша не выговаривает букву "Ш", поэтому пропускает числа с буквой "Ш". У Бори последний столб получил номер "сто". Какой номер этот столб получил у Миши?
Даны точки A(- 2;2), B(- 2; - 2) и C(6;6). Составьте уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника ABC.
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 100 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 и R2 их общее сопротивление даётся формулой R= , а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом.
Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?
|
|
 |
Условие
Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?
Решение
Пусть A1A2...
An – данный многоугольник, B1, B2, ..., Bn – точки касания вписанной окружности со сторонами A1A2, A2A3, ..., AnA1. Обозначим значения углов первого многоугольника через a1, ..., an, а второго – через b1, ..., bn. Тогда bi = ½ (ai + ai+1). Перемножая n
таких равенств, получаем
2na1a2...
an = (a1 + a2)...(an–1 + an)(an + a1). Но по неравенству Коши Поэтому из полученного равенства следует, что все углы многоугольников равны, а так как многоугольник B1...Bn – вписанный, то многоугольники правильные.
Ответ
Верно.
