Версия для печати
Убрать все задачи

---

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(- 2;1), B(9;3) и C(1;7).

   Решение

---

На диагонали AC нижней грани единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отложен отрезок AE длины l . На диагонали B₁D₁ его верхней грани отложен отрезок B₁F длиной ml . При каком l (и фиксированном m>0 ) длина отрезка EF будет наименьшей?

   Решение

---

На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки K, M и N соответственно так, что угол MKB равен углу MNC, а угол KMB равен углу KNA. Докажите, что NB – биссектриса угла MNK.

   Решение

---

Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.

   Решение

---

Найти все действительные решения уравнения x²+2x sin xy+1=0 .

   Решение

---

Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны m , n и p . Найдите диагональ параллелепипеда.

   Решение

---

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что  ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC.
Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если  BD = a.

   Решение

---

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр к стороне AB в точке X, серединный перпендикуляр к стороне AC – в точке Y, а описанную окружность треугольника – в точке Z. Точки A, X, Y и Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что  AX = YZ.

   Решение

---

В треугольнике ABC угол A равен 60^o . Пусть BB₁ и CC₁  — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B₁C₁ , лежит на стороне BC .

   Решение

---

В трапеции ABCD угол ADC прямой, угол BAD равен arctg 3 и AD=CD . Квадрат KLMN расположен в пространстве так, что его центр совпадает с серединой отрезка AD . Точка D лежит на стороне LK и DL < DK , точка M равноудалена от точек C и D . Расстояние от точки L до ближайшей к ней точки трапеции ABCD равно 2, а расстояние от точки N до ближайшей к ней точки трапеции ABCD равно 3. Найдите площадь трапеции ABCD и расстояние от точки M до плоскости ABCD .

   Решение

---

Пусть r — радиус вписанной окружности, а r_a , r_b и r_c — радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC , касающихся сторон BC=a , AC=b , AB=c соответственно; p — полупериметр треугольника ABC , S — его площадь. Докажите, что
                     а) = + + ; б) S = .

   Решение

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9 Название задачи: Задача Люилье.

Прислать комментарий

Условие

Пусть r — радиус вписанной окружности, а r_a , r_b и r_c — радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC , касающихся сторон BC=a , AC=b , AB=c соответственно; p — полупериметр треугольника ABC , S — его площадь. Докажите, что
                     а) = + + ; б) S = .

Решение

Известно, что S=pr , поэтому = . Пусть O — центр окружности радиуса r_a , касающейся стороны BC=a треугольника ABC в точке Q , а продолжений сторон AB=c и AC=b — в точках M и N соответственно. Тогда

S= S_{Δ AOB}+S_{Δ AOC}-S_{Δ BOC}= AB· OM + AC· ON - BC· OQ=

= c · r_a+b· r_a-a· r_a= r_a= (p-a)r_a.
Отсюда находим, что r_a= . Аналогично, r_b= и r_c= , поэтому
++= ++= ===.

По формуле Герона
S= = = = .
Отсюда находим, что =S . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования