Задача 116344

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Параллелограммы (прочее) ] [ Вписанный угол (прочее) ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Треугольник BHC, где H – ортоцентр треугольника ABC, достроен до параллелограмма BHCD. Докажите, что ∠BAD = ∠CAH.

Решение

Пусть ABC – остроугольный треугольник, а AA₁, BB₁ и CC₁ – его высоты. Поскольку BHCD – параллелограмм, BB₁ || CD и CC₁ || BD, поэтому ∠ACD = ∠ABD = 90°. Из точек B и C отрезок AD виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD.

Обозначим ∠ACB = γ. Тогда вписанные в окружность углы ADB и ACB опираются на одну и ту же дугу, поэтому ∠ADB = ∠ACB = γ. Из прямоугольных треугольников AA₁C и ABD находим, что ∠CAH = ∠CAA₁ = 90° – γ, ∠BAD = 90∠ – γ.

Следовательно, ∠BAD = ∠CAH. Аналогично для тупоугольного треугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2922