Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD с основаниями BC и AD , причём BC:AD = 2:5 . Диагонали трапеции пересекаются в точке E , а центр O вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке SE и делит его в отношении SO:OE = 7:2 . Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани SBC равна 8.
Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке A); из точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена касательная BC к меньшей окружности. Прямые BC и AC пересекает большую окружность в точках D и E соответственно. Докажите, что дуги DE и BE равны.
В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду.
Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для каждого из них.
Бабе-Яге подарили большие песочные часы на 5 минут и маленькие – на 2 минуты. Зелье должно непрерывно кипеть ровно 8 минут. Когда оно закипело, весь песок в больших часах находился в нижней половине, а в маленьких – какая-то (неизвестная) часть песка в верхней, а остальная часть – в нижней половине. Помогите Бабе-Яге отмерить ровно 8 минут.
(Песок все время сыплется с постоянной скоростью. На переворачивание время не тратится.)
В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты такие точки X и Y, что ∠ABX = ∠YAC, ∠AYB = ∠BXC, XC = YB. Найдите углы треугольника ABC.
Найдите числа, равные удвоенной сумме своих цифр.
Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.
|
|
 |
Условие
Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.
Решение
Разрежем квадрат на три "узких" прямоугольника (1×1, 2×1 и 4×1), три "средних" (1×2, 2×2 и 4×2) и три "широких" (1×4, 2×4 и 4×4).
Из "узких" прямоугольников можно сложить прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 1. Аналогично из "средних" прямоугольников можно сложить прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 2, а из "широких" – прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 4. Из полученных "узкого", "среднего" и "широкого" прямоугольников нужной высоты можно сложить прямоугольник этой высоты и любой ширины от 1 до 7.
Ответ
Cм. рис.
Замечания
1. Решение основано на том, что из первых n степеней двойки (начиная с 20 = 1) можно составить любую сумму от 1 до 2n – 1 включительно. На этом факте основана двоичная система счисления. В данном случае n = 3.
2. Желающие могут подумать:
а) существуют ли 25 клетчатых прямоугольников, из которых можно
составить любой клетчатый прямоугольник со сторонами, не превосходящими 31;
б) существуют ли 100 прямоугольников, из которых можно составить любой клетчатый прямоугольник со сторонами, не превосходящими 1000?
