На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Даны 4 точки: A, B, C, D. Найти такую точку O, что сумма расстояний от неё до данных точек минимальна.

   Решение

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

   Решение

Постройте правильный десятиугольник.

   Решение

Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке E и прямую BC в точке F. Докажите, что  ¹/_AE² + ¹/_AF² = ¹/_AB².

   Решение

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

   Решение

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

   Решение

11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.

Решение

Занумеруем кружки числами от 1 до 5 и вместо каждого пионера будем рассматривать тот набор кружков - подмножество множества {1, 2, 3, 4, 5} - который состоит из посещаемых им кружков. Осталось разбить 32 подмножества указанного множества на 10 наборов так, чтобы в каждом из наборов из любых двух множеств этого набора одно содержалось в другом. В качестве таких наборов рассмотрим следующие: [∅, {1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,3,4}, {1,2,3,4,5}], [{2}, {2,5}, {1,2,5}, {1,2,3,5}], [{3}, {1,3}, {1,3,4}, {1,3,4,5}], [{4}, {1,4}, {1,2,4}, {1,2,4,5}], [{5}, {1,5}, {1,3,5}], [{2,4}, {2,4,5}, {2,3,4,5}], [{3,4}, {3,4,5}], [{3,5}, {2,3,5}], [{4,5}, {1,4,5}], [{2,3}, {2,3,4}].

Источники и прецеденты использования