Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

   Решение

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

   Решение

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что  M ≥ N.

   Решение

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_a – ¹/_b| ≤ $k$?

   Решение

Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.

   Решение

Что больше
  а) 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰?
  б) 2⁴⁰ или 3²⁸?
  в) 5⁴⁴ или 4⁵³?

   Решение

Тема:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Что больше
  а) 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰?
  б) 2⁴⁰ или 3²⁸?
  в) 5⁴⁴ или 4⁵³?

Решение

  а)  3² = 9 > 8 = 2³,  значит,  3²⁰⁰ > 2³⁰⁰.

  б)  2¹⁰ = 1024 < 2187 = 3⁷,  значит,  2⁴⁰ < 3²⁸.

  в)  10³ < 2¹⁰,  значит,  2⁴⁵·5⁴⁵ = 10⁴⁵ < 2¹⁵⁰ = 2⁴⁴·4⁵³,  то есть  10·5⁴⁴ < 4⁵³.

Ответ

а) 3²⁰⁰;  б) 3²⁸;  в) 4⁵³.

Источники и прецеденты использования